Road To Zero

 Ví dụ 1.26: Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm $p=0,02$. Cần phải lấy một mẫu với cỡ bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn $R=0,95$. Giải:  Gọi A là biến cố: "trong mẫu có ít nhất một phế phẩm" Gọi n là cỡ mẫu phải tìm. Đặt $q=1-p$. Ta có: $P(A)=1-P(\overline{A}) = 1-C_{n}^{0}p^{0}q^{n}=1-q^{n}\ge R=0,95$. Từ đó suy ra: $(0,98)^n\le 0,05$. $\implies n\ge \frac{ln(0,05)}{0,98}$ Ta khảo sát sự biến thiên của xác suất $P_{n}(k)$ khi cố định $n$ và cho $k$ biến thiên từ $0$ đến $n$. Muốn vậy, ta xét tỷ số: $\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\frac{C_{n}^{k+1}p^{k+1}q^{n-k-1}}{C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}=\frac{(n-k)p}{(k+1)q}$ * Xét trường hợp tỷ số này lớn hơn hoặc bằng $1$. Ta suy ra: $\frac{(n-k)p}{(k+1)q}\ge 1$. Ta rút ra $k\ge np-q$. Điều đó có nghĩa là xác suất $P_n(k)$ giảm khi $k$ tăng từ $np-q$ đến $n$. Chứng tỏ rằng khi $k=np-q$ thì $\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=1$, nghĩa là $P_n(k+1)=P_n(k)$. Song $k$ chỉ nhận giá trị nguy...

 Định nghĩa 1.9: Dãy $n$ phép thử $G_1,G_2,...,G_n$ trong mỗi phép thử $G_i$ tương ứng với không gian biến cố sơ cấp $\Omega_i$ gồm $r$ biến cố sơ cấp $A_1,A_2,...,A_r$ được gọi là độc lập nếu: $P(A_{i_1}^{1}A_{i_2}^{2}...A_{i_n}^{n})=P(A_{i_1}^{1})P(A_{i_2}^{2})...A_{i_n}^{n}$ Trong đó $A_{i_1}^{1}$ là một biến cố bất kỳ trong $r$ biến cố $A_1,...,A_r$ tương ứng với phép thử $G_1$. $A_{i_n}^{n}$ là một biến cố bất kỳ trong $r$ biến cố $A_1,..,A_r$ tương ứng với phép thử $G_n$. Ví dụ về dãy phép thử độc lập. * Bắn $20$ viên đạn độc lập vào mục tiêu. Mỗi lần bằn 1 viên, được xem như tiến hành 1 phép thử. Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là $\Omega=\left\{\text{ trúng đích (biến cố A), không trúng đích (biến cố A-ngang)}\right\}$. 20 lần bắn độc lập là $20$ phép thử độc lập. * Gieo $10$ lần con xúc xắc cân đối và đồng chất được xem như tiến hành $10$ phép thử độc lập. Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là $\Omega_i=\left\{B_1,B_2,...,B_6\right\}$...

Định nghĩa: Hai biến cố $A,B$ được gọi là độc lập với nhau nếu: $P(AB)=P(A)P(B)$ Hệ quả 1.2: Hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập khi và chỉ khi hoặc $P(B/A)=P(B)$ hoặc $P(A/B)=P(A)$. Hệ quả 1.3: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi hoặc $A,\overline{B}$ là độc lập, hoặc $\overline{A},B$ là độc lập hoặc $\overline{A},\overline{B}$ là độc lập. Định nghĩa 1.8: Dãy $n$ biến cố $A_1,A_2,...,A_n$ được gọi là độc lập nếu ta lấy ra một dãy con bất kỳ các biến cố từ $n$ biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố của dãy con đó bằng tích xác suất của từng biến cố, nghĩa là:      Với tập con bất kỳ $I\subseteq \left\{1,2,...,n\right\}$ có $P(\cap_{i\in I} A_i)=\prod\limits_{i\in I}P(A_i)$ - Nếu dãy các biến cố thỏa mãn định nghĩa 1.8 thì dãy đó được gọi là độc lập trong toàn thể. - Nếu từng đôi trong dãy đó mà độc lập với nhau thì dãy đó được gọi là độc lập từng đôi. Từ đó suy ra rằng: Nếu dãy các biến cố $A_1,A_2,...,A_n$ độc lập trong toàn thể thì nó độc lập từng đôi. S...

 Mệnh đề: Giả sử $A$ là biến cố bất kỳ và $B_1,B_2,...,B_n$ lập thành hệ đầy đủ các biến cố và $P(B_i)>0$. Khi đó: 1. $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)$ Đây là công thức xác suất toàn phần. 2. Nếu $P(A)>0$ thì $P(B_k/A)=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)}$ Công thức này được gọi là công thức Bayes. Chứng minh: 1. Ta có: $A=A\cup \Omega=A(B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n)=AB_1\cup AB_2\cup ...\cup AB_n$. Vì các $B_1,B_2,...,B_n$ là xung khắc từng đôi một nên $AB_1,AB_2,...,AB_n$ cũng xung khắc từng đôi một nên: $P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+...+P(AB_n)$ $P(A)=P(B_1)P(AB_1)+P(B_2)P(AB_2)+...+P(B_nP(AB_n)$  2. Theo công thức tính xác suất tính ta có: $P(B_kA)=P(B_k)P(A/B_k)=P(A)P(B_k/A)$ Từ đó suy ra: $P(B_k/A)=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)}$ Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn. Bài 1: Cho hai lô sản phẩm. Lô $I$ có $20$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm tốt và $5$ phế phẩm. Lô $II$ có $20$ sản phẩm t...

 Bài 1:  Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Ký hiệu $A$ là biến cố "mặt trên có 1 chấm hoặc 2 chấm hoặc 3 chấm". Và $B$ là biến cố "Mặt trên có 3 chấm hoặc 3 chấm, hoặc 4 chấm hoặc 5 chấm". Tính xác suất của $A\cup B$, của $A$, của $AB$, của $A\text{ \ } B$  Giải: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ Ta có: $AB=\left\{B_3\right\}$ ($B_3$ - mặt trên có $3$ chấm). $P(AB)=\frac{1}{6}$. Theo quy tắc xác suất của tổng các biến cố ta có: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. Tương tự: $P(A\text{ \ }B)=P(A)-P(AB)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3-1}{6}=\frac{1}{3}$ Bài 2: Một lô sản phẩm gồm có $12$ sản phẩm trong đó có $8$ sản phẩm tốt và $4$ phế phẩm.  1. Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại hai sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để cả hai sản phẩm đó là sản phẩm tốt. 2. Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không để ý tới sản phẩm đó. Sau đó rút tiếp sản phẩm thứ hai. Tìm xác suất để sản phẩ...