Ngày 17/09/2020 - Xác suất 1 - Xác suất có điều kiện

 Bài 1: 

Gieo một lần con xúc xắc cân đối và đồng chất. Ký hiệu $A$ là biến cố "mặt trên có 1 chấm hoặc 2 chấm hoặc 3 chấm". Và $B$ là biến cố "Mặt trên có 3 chấm hoặc 3 chấm, hoặc 4 chấm hoặc 5 chấm". Tính xác suất của $A\cup B$, của $A$, của $AB$, của $A\text{ \ } B$ 

Giải: $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Ta có: $AB=\left\{B_3\right\}$ ($B_3$ - mặt trên có $3$ chấm).

$P(AB)=\frac{1}{6}$.

Theo quy tắc xác suất của tổng các biến cố ta có: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

Tương tự: $P(A\text{ \ }B)=P(A)-P(AB)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3-1}{6}=\frac{1}{3}$

Bài 2: Một lô sản phẩm gồm có $12$ sản phẩm trong đó có $8$ sản phẩm tốt và $4$ phế phẩm. 

1. Rút ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại hai sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để cả hai sản phẩm đó là sản phẩm tốt.

2. Rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng và không để ý tới sản phẩm đó. Sau đó rút tiếp sản phẩm thứ hai.

Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra lần thứ hai là sản phẩm tốt.

Giải: Theo định nghĩa xác suất có điều kiện ta có: $P(B\text{ / }A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$.

Ta suy ra : $P(AB)=P(A)P(B\text{ / }A)$

Đặt $A$ bằng biến cố "sản phẩm lấy ra lần I là sản phẩm tốt" và $B$ là biến cố "sản phẩm lấy lần II là sản phẩm tốt".

Xác suất phải tìm là $P(AB)=P(A)P(B\text{ / }A)$

Ta có: $P(A)=\frac{8}{12}$ và $P(B\text{ / }A)=\frac{7}{11}$

Vậy $P(AB)=\frac{8}{12}.\frac{7}{11}=\frac{14}{33}$.

2. Theo ký hiệu ở câu 1, ta có:

$B=\Omega \cup B=(A\cup \overline{A})B=AB\cup \overline{A}B$

$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)$

$P(B)=P(A)P(B\text{ / }A)+P(\overline{A})P(B\text{ / }\overline{A})$

Ta có: $P(A)=\frac{8}{12}$ và $P(B\text{ / }A)=\frac{7}{11} ; P(\overline{A})=\frac{4}{12};P(B\text{ / }\overline{A})=\frac{8}{11}$.

Vậy $P(B)=\frac{8}{12}*\frac{7}{11}+\frac{4}{12}*\frac{8}{11}=\frac{8.11}{12.11}=\frac{2}{3}$.

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta suy ra công thức xác suất của tích hai biến cố: $P(AB)=P(A)P(B\text{ /A })=P(B)P(A\text{ / }B)$

Công thức này có thể mở rống ra công thức xác suất của tích $n$ biến cố. 

$P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2\text{ / }A_1)...P(A_n /A_1,...,A_{n-1})$

Bài 3:

Một lô sản phẩm có $100$ sản phẩm trong đó có $90$ sản phẩm tốt và $10$ phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên liên tiếp không hoàn lại $5$ sản phẩm. Nếu có ít nhất $1$ phế phẩm trong $5$ sản phẩm kiểm tra đó thì không nhận lô hàng. Tính xác suất để nhận lô hàng.

Giải: Đặt $A_i$ là biến cố "sản phẩm kiểm tra thứ i là sản phẩm tốt", $i=\overline{1,5}$

Đặt $A$ là biến cố "nhận lô hàng". Ta thấy $A=A_1A_2A_3A_4A_5$

Theo công thức xác suất của tích các biến cố ta có:

$P(A)=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/A_1,A_2)P(A_4/A_1...A_3)P(A_5/A_1...A_4)$

$P(A)=\frac{90}{100}.\frac{89}{99}.\frac{88}{98}.\frac{87}{97}.\frac{86}{96}$.