Ngày 17/09/2020 - Xác suất 3 - Sự độc lập các biến cố, sự độc lập của các phép thử

Định nghĩa: Hai biến cố $A,B$ được gọi là độc lập với nhau nếu: $P(AB)=P(A)P(B)$

Hệ quả 1.2: Hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập khi và chỉ khi hoặc $P(B/A)=P(B)$ hoặc $P(A/B)=P(A)$.

Hệ quả 1.3: Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập khi và chỉ khi hoặc $A,\overline{B}$ là độc lập, hoặc $\overline{A},B$ là độc lập hoặc $\overline{A},\overline{B}$ là độc lập.

Định nghĩa 1.8: Dãy $n$ biến cố $A_1,A_2,...,A_n$ được gọi là độc lập nếu ta lấy ra một dãy con bất kỳ các biến cố từ $n$ biến cố trên thì xác suất của tích các biến cố của dãy con đó bằng tích xác suất của từng biến cố, nghĩa là: 

    Với tập con bất kỳ $I\subseteq \left\{1,2,...,n\right\}$ có $P(\cap_{i\in I} A_i)=\prod\limits_{i\in I}P(A_i)$

- Nếu dãy các biến cố thỏa mãn định nghĩa 1.8 thì dãy đó được gọi là độc lập trong toàn thể.

- Nếu từng đôi trong dãy đó mà độc lập với nhau thì dãy đó được gọi là độc lập từng đôi.

Từ đó suy ra rằng: Nếu dãy các biến cố $A_1,A_2,...,A_n$ độc lập trong toàn thể thì nó độc lập từng đôi. Song điều ngược lại nói chung không đúng.

 Bài 1:

Gieo 2 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi $A$ là biến cố "con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn". Và $B$ là biến cố "con xúc xắc thứ II xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ". $C$ là biến cố "cả hai con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn hoặc lẻ". Xem xét ba biến cố $A,B,C$ có độc lập từng đôi và độc lập trong toàn thể không ?

Giải: Theo giả thiết ta có: $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}=P(C)$.

Bởi vì $C=A\overline{B}\cup \overline{A}B$. Hai con xúc sắc gieo độc lập.

Do đó: $P(C)=P(A)P(\overline{B})+P(\overline{A})P(B)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

Và $P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Và $P(AC)=P[A(A\overline{B}\cup \overline{A}B)]=P(A\overline{B}\cup \emptyset)=P(A\overline{B})+0$

$P(AC)=P(A)P(\overline{B})=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Và $P(BC)=P[B(A\overline{B}\cup \overline{A}B)]=P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)$

$P(BC)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

Từ các kết quả trên ta kết luận: Ba biến cố $A,B,C$ là độc lập từng đôi.

Mặt khác: $ABC=\emptyset$. Do đó $P(ABC)=0$.

Và $P(A)P(B)P(C)=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ne P(ABC)$.

Điều đó chứng tỏ $A,B,C$ không độc lập trong toàn thể.