Ngày 28/9/2020 - Xác suất 5 : Tiếp theo

 Ví dụ 1.26: Một lô hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm $p=0,02$. Cần phải lấy một mẫu với cỡ bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó không bé hơn $R=0,95$.

Giải: 

Gọi A là biến cố: "trong mẫu có ít nhất một phế phẩm"

Gọi n là cỡ mẫu phải tìm. Đặt $q=1-p$.

Ta có: $P(A)=1-P(\overline{A}) = 1-C_{n}^{0}p^{0}q^{n}=1-q^{n}\ge R=0,95$.

Từ đó suy ra: $(0,98)^n\le 0,05$.

$\implies n\ge \frac{ln(0,05)}{0,98}$

Ta khảo sát sự biến thiên của xác suất $P_{n}(k)$ khi cố định $n$ và cho $k$ biến thiên từ $0$ đến $n$.

Muốn vậy, ta xét tỷ số:

$\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=\frac{C_{n}^{k+1}p^{k+1}q^{n-k-1}}{C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}=\frac{(n-k)p}{(k+1)q}$

* Xét trường hợp tỷ số này lớn hơn hoặc bằng $1$. Ta suy ra: $\frac{(n-k)p}{(k+1)q}\ge 1$.

Ta rút ra $k\ge np-q$.

Điều đó có nghĩa là xác suất $P_n(k)$ giảm khi $k$ tăng từ $np-q$ đến $n$.

Chứng tỏ rằng khi $k=np-q$ thì $\frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}=1$, nghĩa là $P_n(k+1)=P_n(k)$.

Song $k$ chỉ nhận giá trị nguyên, do đó:

+ Nếu $np-q$ là số nguyên thì $k$ có $2$ giá trị $k_1=np-q$ và $k_2=np-q+1$ mà tại đó xác suất $P_n(k)$ đạt cực đại.

+ Nếu $np-q$ là không nguyên thì $k$ có $1$ giá trị $k=[np-q]+1$ mà tại đó xác suất $P_n(k)$ đạt cực đại; trong đó $[a]$ là ký hiệu phần nguyên của $a$.

 Ví dụ 1.27: Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập $14$ viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng đích của mỗi viên đạn là $0,2$. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất.

Giải: 

Xem việc bắn độc lập $14$ viên đạn vào một mục tiêu như là tiến hành $14$ phép thử Bernoulli với xác suất trúng đích của mỗi viên đạn (biến cố A) là không đổi $p=0,2$.

Ta có: $n=14$. Vậy $np-q=14.0,2-0,8=2$ là số nguyên. Vậy có hai giá trị của $k$:

+ $k_1=2;k_2=3$ tại đó xác suất $P_n(k)$ đạt cực đại.