Ngày 17/09/2020 - Xác suất 2 - Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

 Mệnh đề: Giả sử $A$ là biến cố bất kỳ và $B_1,B_2,...,B_n$ lập thành hệ đầy đủ các biến cố và $P(B_i)>0$. Khi đó:

1. $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)$

Đây là công thức xác suất toàn phần.

2. Nếu $P(A)>0$ thì $P(B_k/A)=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)}$

Công thức này được gọi là công thức Bayes.

Chứng minh:

1. Ta có: $A=A\cup \Omega=A(B_1\cup B_2\cup ...\cup B_n)=AB_1\cup AB_2\cup ...\cup AB_n$.

Vì các $B_1,B_2,...,B_n$ là xung khắc từng đôi một nên $AB_1,AB_2,...,AB_n$ cũng xung khắc từng đôi một nên:

$P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+...+P(AB_n)$

$P(A)=P(B_1)P(AB_1)+P(B_2)P(AB_2)+...+P(B_nP(AB_n)$ 

2. Theo công thức tính xác suất tính ta có:

$P(B_kA)=P(B_k)P(A/B_k)=P(A)P(B_k/A)$

Từ đó suy ra: $P(B_k/A)=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{P(A)}=\frac{P(B_k)P(A/B_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A/B_i)}$

Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn.

Bài 1: Cho hai lô sản phẩm. Lô $I$ có $20$ sản phẩm trong đó có $15$ sản phẩm tốt và $5$ phế phẩm. Lô $II$ có $20$ sản phẩm trong đó có $10$ sản phẩm tốt và $10$ phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên $1$ lô và từ lô đó chọn ngẫu nhiên $1$ sản phẩm.

1. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

2. Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Tìm xác suất để sản phẩm đó của lô thứ hai.

Giải: 

1. Đặt $A$ là biến cố sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

và $B_i$ là biến cố sản phẩm lấy ra ở lô thứ $i,i=1,2$.

Ta suy ra $B_1,B_2$ lập thành hệ đầy đủ. Bởi vì sản phẩm lấy ra không của lô I thì của lô II. Đó là điều chắc chắn nghĩa là $B_1\cup B_2=\Omega$. 1 sản phẩm đã lấy ở lô I thì thôi lấy ở lô II và ngược lại, lấy ở lô 2 thì thôi lấy ở lô I, nghĩa là $B_1\cap B_2=\emptyset$.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có: $P(A)=P(B_1)P(A/B_1)+P(B_2)P(A/B_2)$.

Theo đầu bài ta có: $P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2};P(A/B_1)=\frac{15}{20};P(A/B_2)=\frac{10}{20}$.

Vậy $P(A)=\frac{1}{2}*\frac{15}{20}+\frac{1}{2}*\frac{10}{20}=\frac{25}{40}=\frac{5}{8}$.

2. Xác xuất phải tìm là : $P(B_2/A)=\frac{P(B_2)P(A/B_2)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{2}*\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}}=\frac{2}{5}$.

Bài 2: 

Người ta biết rằng một cặp trẻ sinh đôi có thể là cặp sinh đôi cùng trứng hoặc một cặp sinh đôi không cùng trứng.

Một cặp sinh đôi cùng trứng những đứa trẻ bao giờ cũng cùng giới tính ; còn sinh đôi không cùng trứng xác suất để chúng cùng giới tính bằng $\frac{1}{2}$. Giả sử cặp trẻ sinh đôi cùng trứng với xác suất bằng $p$.

Tìm xác suất để cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính là cặp sinh đôi cùng trứng.

Giải: 

Đặt $B_1$ là biến cố cặp trẻ sinh đôi là sinh đôi cùng trứng.

$B_2$ là biến cố cặp trẻ sinh đôi là sinh đôi khác trứng.

$B_1,B_2$ lập thành hệ đầy đủ các biến cố.

Đặt $A$ là biến cố cặp trẻ sinh đôi cùng giới tính.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có: $P(A)=P(B_1)P(A/B_1)+P(B_2)P(A/B_2)$

Theo giả thiết: $P(A/B_1)=1;P(A/B_2)=\frac{1}{2}$ và $P(B_1)=p,P(B_2)=1-p$.

Vậy $P(A)=p*1+(1-p)*\frac{1}{2}=\frac{1+p}{2}$.

Xác suất phải tìm là: $P(B_1/A)=\frac{P(B_1)P(A/B_1)}{P(A)}=\frac{1*p}{\frac{1+p}{2}}=\frac{2p}{p+1}$.

Bài 3: Trong một đám người mà số đàn ông bằng một nửa số đàn bà. Xác suất để đàn ông bị bênh bạch tạng là $0,06$ và xác suất để người đàn bà bị bệnh bạch tạng là $0,0036$.

1. Tìm xác suất để một cá thể bất kỳ bị bệnh bạch tạng.

2. Tìm xác suất để một người bị bênh bạch tạng trong đám đông đó là đàn ông.

Giải: 

1. Gọi $A$ là biến cố "Một cá thể trong đám đông bị bạch tạng"

và $B_1$ là biến cố "Một cá thể là đàn ông"

$B_2$ là biến cố "Một cá thể đàn bà"

Ta thấy $B_1,B_2$ lập thành hệ đầy đủ các biến cố.

Theo công thức xác suất toàn phần ta có: $P(A)=P(B_1)P(A/B_1)+P(B_2)P(A/B_2)$.

Theo giả thiết $P(B_1)=\frac{1}{3},P(B_2)=\frac{2}{3}$ và $P(A/B_1)=0,06$ và $P(A/B_2)=0,0036$.

Vậy $P(A)=\frac{1}{3}*0,06+\frac{2}{3}*0,0036=0,0224$.

2. Xác suất để một cá thể bị bạch tạng là đàn ông chính là xác suất điều kiện của biến cố $B_1$ với điều kiện $A$ đã xảy ra.

Theo công thức Bayes, ta có: $P(B_1/A)=\frac{P(B_1)P(A/B_1)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{3}*0,06}{0,0224}\sim 0,89$