Ngày 18/09/2020: Xác suất 4 - Dãy các phép thử độc lập.Công thức xác suất nhị thức.

 Định nghĩa 1.9: Dãy $n$ phép thử $G_1,G_2,...,G_n$ trong mỗi phép thử $G_i$ tương ứng với không gian biến cố sơ cấp $\Omega_i$ gồm $r$ biến cố sơ cấp $A_1,A_2,...,A_r$ được gọi là độc lập nếu:

$P(A_{i_1}^{1}A_{i_2}^{2}...A_{i_n}^{n})=P(A_{i_1}^{1})P(A_{i_2}^{2})...A_{i_n}^{n}$

Trong đó $A_{i_1}^{1}$ là một biến cố bất kỳ trong $r$ biến cố $A_1,...,A_r$ tương ứng với phép thử $G_1$.

$A_{i_n}^{n}$ là một biến cố bất kỳ trong $r$ biến cố $A_1,..,A_r$ tương ứng với phép thử $G_n$.

Ví dụ về dãy phép thử độc lập.

* Bắn $20$ viên đạn độc lập vào mục tiêu.

Mỗi lần bằn 1 viên, được xem như tiến hành 1 phép thử. Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là $\Omega=\left\{\text{ trúng đích (biến cố A), không trúng đích (biến cố A-ngang)}\right\}$. 20 lần bắn độc lập là $20$ phép thử độc lập.

* Gieo $10$ lần con xúc xắc cân đối và đồng chất được xem như tiến hành $10$ phép thử độc lập. Không gian biến cố sơ cấp tương ứng với mỗi phép thử là $\Omega_i=\left\{B_1,B_2,...,B_6\right\}$

1.6 Công thức xác suất nhị thức.

Định nghĩa 1.10: Dãy $n$ phép thử $G_1,G_2,...,G_n$ được gọi là dãy $n$ phép thử Bernoulli nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Dãy $n$ phép thử đó là độc lập.

2. Trong mỗi phép thử $G_i$ tương ứng với không gian biến cố sơ cấp $\Omega_i=\left\{A,\overline{A}\right\}$

3. Xác suất của biến cố $A$ là $P(A)$ không thay đổi trong mọi phép thử. Đặt $P(A)=p$.

Bài toán: Tìm xác suất để trong dãy $n$ phép thử Bernoulli biến cố $A$ xuất hiện đúng $k$ lần.

Giải: 

Xét biến cố tích của $n$ biến cố có dạng $A\text{ }A\text{ } \overline{A}\text{ }\overline{A}\text{ }...\overline{A}\text{ } A..$

Trong tích này có $k$ biến cố $A$ và $n-k$ biến cố $\overline{A}$. Vì dãy $n$ phép thử này độc lập nên $P(A\text{ }A\text \overline{A}\text{ }\overline{A}\text{ }...\overline{A}\text{ } A..)=P(A)^{k}P((\overline{A})^{n-k})=p^{k}(1-p)^{n-k}$ với $k=0,1,2,...,n$.

Ta nhận thấy rằng: Biến cố: "Trong dãy $n$ phép thử Bernoulli, biến cố $A$ xuất hiện đúng $k$ lần "bằng tổng của $C_{n}^{k}$ các biến cố tích xung khắc từng đôi dạng (1.4) mà mỗi hạng tử của tổng này đều có xác suất là $p^{k}(1-p)^{n-k}$. Nếu ký hiệu xác suất của biến cố này là $P_n(k)$ thì ta có: $P_n(k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n$.

Công thức này được gọi là công thức xác suất nhị thức. Nếu đặt $1-p=q thì ta có: $P_n(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k=0,1,2,...,n$.

Ví dụ: Gieo ngẫu nhiên $20$ lần một đồng tiền cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:

1. Có đúng $1$ lần xuất hiện mặt sấp.

2. Có ít nhất $2$ lần xuất hiện mặt sấp.

Giải:

1. Xem việc gieo $20$ lần một đồng tiền cân đối và đồng chất như là tiến hành dãy $20$ phép thử Bernoilli, xác suất xuất hiện mặt sấp (biến cố $A$) luôn luôn bằng $\frac{1}{2}$ trong một lần gieo.

Theo công thức xác suất nhị thức ta có:

$P_n(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}$.

Ở đây $n=20,k=1$. Vậy $P_{20}(1)=C_{20}^{1}(\frac{1}{2})^{1}(1-\frac{1}{2})^{20-1}=20*\frac{1}{2^{20}}=\frac{5}{2^{18}}$

2. Ta phải tính xác suất của biến cố $[k\ge 2],k$ là số lần xuất hiện biến cố $A$ trong dãy $n$ phép thử Bernoulli.

Ta có: $P[k\ge 2]=1-P[k<2]=1-P_{20}(0)-P_{20}(1)$.

$P[k\ge 2]=1-C_{20}^{0}(\frac{1}{2})^{0}(1-\frac{1}{2})^{20-0}-C_{20}^{1}(\frac{1}{2})^{1}(1-\frac{1}{2})^{20-1}=1-\frac{1}{2^{20}}-\frac{5}{2^{18}}=1-\frac{21}{2^{20}}$.

Ví dụ 1.24: Một bà mẹ sinh $2$ con (mỗi lần sinh một con). Giả sử xác suất sinh con trai là $0,51$. Tìm xác suất để trong người con đó:

1. Có đúng 1 con trai

2. Không có con trai

3. Có 2 con trai.

Giải:

Trong thống kê người ta chứng minh được rằng: Các lần sinh là độc lập và xác suất sinh con trai là $0,51$ trong mọi lần sinh. Theo công thức xác suất nhị thức ta có: Xác suất để trong $2$ lần sinh đó (mỗi lần sinh $1$ con) có $k$ con trai là :

$P_2(k)=C_{2}^{k}(0,51)^{k}(1-0,51)^{2-k};k=0,1,2$.

1. Với $k=1$ ta có: $P_2(1)=C_2^1(0,51)(0,49)=0,4998$.

2. Với $k=0$ ta có: $P_2(0)=C_2^0(0,51)^0(0,49)^2=0,2401$

3. Với $k=2$ ta có: $P_2(2)=C_2^2(0,51)^2(0,49)^0=0,2601$.

Qua ví dụ trên ta nhận thấy trong số những gia đình có $2$ con thì số gia đình có $1$ con trai và $1$ con gái là đông hơn cả.

Ví dụ 1.25: Gieo $100$ hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là $0,9$. Tính xác suất để trong $100$ hạt.

1. Có đúng $80$ hạt nảy mầm.

2. Có ít nhất $1$ hạt nảy mầm.

3. Có nhiều nhất $98$ hạt nảy mầm.

Giải: 

Gieo ngẫu nhiên $100$ hạt đậu tương được xem như thực hiện $100$ phép thử Bernoulli và $P(A)=0,9$ ($A$ là biến cố hạt nảy mầm).

Theo công thức xác suất nhị thức ta có:

$P_{100}(k)=C_{100}^{k}(0,9)^{k}(0,1)^{100-k}$.

1. Với $k=80$ có: $P_{100}(80)=C_{100}^{80}(0,9)^{80}(0,1)^{20}$.

2. Gọi $k$ là số hạt nảy mầm trong $100$ hạt.

Ta cần tính xác suất $P[k\ge 1]$.

Ta có:

$P[k\ge 1]=1-P[k=0]=1-C_{100}^{0}(0,9)^0(0,1)^{100-0}=1-(0,1)^{100}$.

3. Lời giải của câu hỏi này là $P[k\le 98]$.

Mà $P[k\le 98]=1-P[k\ge 98]=1-C_{100}^{99}(0,9)^{99}(0,1)-C_{100}^{100}(0,9)^{100}$.

$P[k\le 98]=1-(0,9)^{99}$.

Giải:

Gọi $A$ là biến cố: "trong mẫu có ít nhất một phế phẩm".

Gọi $n$ là cỡ mẫu phải tìm. Đặt $q=1-p$.

Ta có: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-C_{n}^0p^{0}q^{n}=1-q^{n}\ge R=0,95$.

Từ đó suy ra $(0,98)^{n}\le 0,05\implies n\ge \frac{ln(0,05)}{ln(0,98)}$.